Une forme bilinéaire symétrique en mathématiques

Une forme bilinéaire symétrique est une fonction mathématique qui prend deux vecteurs en entrée et renvoie un scalaire. Elle est définie comme étant symétrique si l'ordre des vecteurs ne modifie pas le résultat de la fonction, c'est-à-dire que pour tous les vecteurs u et v, la forme bilinéaire symétrique B(u,v) est égale à B(v,u).

Plus précisément, soit V un espace vectoriel sur un corps K. Une forme bilinéaire sur V est une application B: V × V → K qui est linéaire à gauche et à droite. Elle est symétrique si pour tout u, v dans V, on a B(u, v) = B(v, u).

La fonction est souvent représentée sous forme matricielle par une matrice carrée symétrique dont les coefficients sont les valeurs de la forme bilinéaire pour chaque paire de vecteurs de la base. La matrice est symétrique car les coefficients de la diagonale principale sont identiques à ceux de la diagonale opposée.

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