Un espace de Hilbert en mathématiques

Un espace de Hilbert est un type particulier d'espace vectoriel normé complet, muni d'un produit scalaire, qui permet de définir une structure de géométrie euclidienne sur l'espace. Plus précisément, un espace de Hilbert est un espace vectoriel réel ou complexe muni d'un produit scalaire qui satisfait les quatre propriétés suivantes :

1. Linéarité : le produit scalaire est linéaire par rapport à chacun de ses deux arguments.
2. Symétrie : le produit scalaire est symétrique, c'est-à-dire que le produit scalaire de deux vecteurs v et w est égal au produit scalaire de w et v.
3. Défini positif : le produit scalaire de tout vecteur non nul avec lui-même est strictement positif.
4. Complétude : l'espace vectoriel est complet pour la norme induite par le produit scalaire.

L'exemple le plus simple d'espace de Hilbert est l'espace euclidien de dimension finie muni du produit scalaire canonique. Les espaces de Hilbert ont de nombreuses applications en mathématiques, en physique et en ingénierie, notamment en théorie quantique des champs et en traitement du signal.