Théorème central limite, un outil essentiel en statistique

Le théorème central limite (TCL) est un concept fondamental en statistique et en probabilité. Il énonce que la somme (ou la moyenne) de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées (iid) converge vers une distribution normale lorsque le nombre de variables aléatoires augmente.

Plus précisément, le TCL énonce que si X₁, X₂, ..., Xₙ sont des variables aléatoires iid avec une moyenne μ et une variance σ² finie, alors la somme Sₙ = X₁ + X₂ + ... + Xₙ suit approximativement une distribution normale lorsque n devient grand. La moyenne de Sₙ est donnée par E(Sₙ) = nμ et la variance de Sₙ est donnée par Var(Sₙ) = nσ².

Le TCL est extrêmement important en statistique car il permet d'expliquer pourquoi les distributions normales apparaissent souvent dans la pratique, même lorsque les variables aléatoires sous-jacentes ne sont pas nécessairement distribuées normalement. Il justifie également l'utilisation de tests d'hypothèse et d'intervalle de confiance basés sur la distribution normale, même lorsque les données ne sont pas elles-mêmes normalement distribuées.

En utilisant le TCL, il est possible de faire des approximations et des estimations statistiques sur des échantillons à partir de la connaissance de la distribution de la population d'origine. Cela permet d'effectuer des inférences statistiques et de faire des prédictions sur des phénomènes complexes à partir d'échantillons relativement petits.

En résumé, le théorème central limite est un outil essentiel en statistique qui établit une connexion entre les distributions de probabilité des variables aléatoires individuelles et la distribution normale, facilitant ainsi les analyses statistiques et les inférences basées sur des échantillons.