Les théorèmes abéliens et taubériens : outils fondamentaux en théorie des nombres

Les théorèmes abéliens et taubériens sont des résultats importants en mathématiques qui concernent les séries et les transformations de Fourier.

Les théorèmes abéliens sont des résultats de convergence qui permettent d'intervertir l'ordre de la sommation dans certaines situations. Le théorème abélien le plus célèbre est le théorème d'Abel, qui énonce que si une série de nombres réels convergents ${\sum }^{n=0}{a}^n$ vérifie que la série partielle des produits ${\sum }^{n=0}{a}^n{b}^n$ est bornée pour une certaine suite $b^n$, alors la série ${\sum }^{n=0}{b}^n$ converge. Ce théorème est très utile pour étudier la convergence de séries de Fourier, par exemple.

Les théorèmes taubériens, quant à eux, sont des résultats qui donnent des conditions suffisantes pour la convergence d'une série à partir de propriétés de sa série de moyennes partielles. Par exemple, le théorème de Tauber énonce que si la série de moyennes partielles d'une série ${\sum }^{n=0}{a}^n$ converge vers une certaine limite lorsque $N$ tend vers l'infini, alors la série ${\sum }^{n=0}{a}^n$ converge également. Ce type de théorème est utilisé pour étudier la convergence de séries de Fourier dans le cas où les coefficients ne décroissent pas trop rapidement.

Ces théorèmes sont des outils fondamentaux en analyse, et ils ont de nombreuses applications dans divers domaines des mathématiques, notamment en théorie des nombres, en analyse harmonique et en théorie des distributions. Ils permettent de manipuler les séries de manière rigoureuse et de déduire des informations sur leur convergence à partir de propriétés de leurs sommes partielles.

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