Les processus empiriques, cruciaux dans l'analyse des données

Les processus empiriques font référence à des séquences de variables aléatoires construites à partir d'échantillons de données observées. Ils sont utilisés pour approximer et étudier le comportement statistique des données réelles.

Formellement, considérons une séquence de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées (i.i.d.) X₁, X₂, ..., Xₙ, où chaque Xᵢ représente une observation d'une variable aléatoire. Le processus empirique correspondant est défini comme suit :

Sₙ(t) = (1/n) * Σᵢ₌₁-⌊nt⌋ Xᵢ,

où t est un paramètre de temps continu et ⌊nt⌋ désigne la partie entière de nt.

Le processus empirique Sₙ(t) est une approximation du processus sous-jacent à partir duquel les données ont été échantillonnées. Il représente une estimation de la distribution des données à partir d'un échantillon fini.

Les processus empiriques permettent d'observer l'évolution des statistiques des données à mesure que la taille de l'échantillon augmente. Ils sont souvent utilisés pour étudier les propriétés asymptotiques des estimateurs, tels que les estimateurs de la moyenne, de la variance, de la fonction de répartition, etc.

L'un des résultats importants liés aux processus empiriques est le théorème de Donsker (théorème de Donsker invariance principle), qui établit la convergence du processus empirique normalisé vers le processus de Wiener ou mouvement brownien lorsque la taille de l'échantillon tend vers l'infini.

En résumé, les processus empiriques sont des outils statistiques qui permettent d'approximer le comportement d'une séquence de données observées et de comprendre leurs propriétés statistiques asymptotiques. Ils jouent un rôle important en statistique, en économétrie et dans d'autres domaines de l'analyse des données.