Les équations de Cauchy-Riemann en mathématiques
Les équations de Cauchy-Riemann sont un système d'équations aux dérivées partielles qui caractérisent les fonctions holomorphes, c'est-à-dire les fonctions complexes qui sont dérivables en tout point de leur domaine de définition. Ces équations portent le nom des mathématiciens Augustin Louis Cauchy et Bernhard Riemann, qui ont travaillé indépendamment sur cette théorie.
Les équations de Cauchy-Riemann sont les suivantes :
∂u∂x=∂v∂y∂x∂u=∂y∂v
∂u∂y=−∂v∂x∂y∂u=−∂x∂v
où $u(x,y)$ et $v(x,y)$ sont les parties réelle et imaginaire d'une fonction complexe $f(z) = u(x,y) + iv(x,y)$, respectivement.
Ces équations sont importantes car elles montrent que la différentiabilité d'une fonction complexe est liée à sa régularité en tant que fonction réelle de deux variables, ce qui permet d'établir des liens entre l'analyse complexe et l'analyse réelle. De plus, elles permettent de décrire la géométrie des transformations conformes dans le plan complexe, qui sont importantes dans la théorie des fonctions holomorphes.
Ces équations ont des applications dans de nombreux domaines des mathématiques, comme l'analyse complexe, la géométrie complexe, la théorie des nombres et la physique théorique.
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Augustin Louis Cauchy est un mathématicien français né en 1789 et décédé en 1857. Il est l'un des mathématiciens les plus influents du 19ème siècle, car il contribua à de nombreux domaines des mathématiques,dont l'analyse, l'algèbre, la géométrie, la théorie des nombres, la physique mathématique et la mécanique des fluides.
Cauchy va travailler sur de nombreux sujets mathématiques, mais il va se distinguer pour ses contributions à l'analyse mathématique en développant la théorie des fonctions analytiques complexes et en introduisant le concept de convergence uniforme des séries de fonctions. Il va aussi travailler sur la théorie des équations différentielles, en particulier sur les équations aux dérivées partielles.
En plus de ses contributions à l'analyse mathématique, Cauchy réfléchir à des problèmes de physique mathématique. Il développera la théorie des ondes élastiques, travaillera sur des notions d'algèbre et de théorie des nombres, en particulier sur la théorie des groupes abéliens et la théorie des résidus quadratiques.
En outre, Cauchy fera des contributions importantes à l'enseignement des mathématiques et sera l'un des premiers à introduire la notion de rigueur mathématique dans l'enseignement. Il écrira de nombreux manuels scolaires et participera à la fondation de l'École Polytechnique et de l'Académie des Sciences de France.
IC
