Le théorème des accroissements finis : une étape clé dans la démonstration du théorème fondamental du calcul différentiel et intégral

Le théorème des accroissements finis, également connu sous le nom de théorème de Rolle, est un concept fondamental en analyse mathématique. Ce théorème établit une relation entre la dérivabilité d'une fonction et l'existence d'un point où sa dérivée s'annule.

Formellement, le théorème des accroissements finis s'énonce comme suit :

Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle fermé $[a,b]$ et dérivable sur l'intervalle ouvert $(a,b)$. Si $f(a)=f(b)$, alors il existe au moins un point $c$ dans l'intervalle ouvert $(a,b)$ tel que $f^{\prime }(c)=0$.

En d'autres termes, si une fonction est continue sur un intervalle fermé, dérivable sur l'intervalle ouvert correspondant, et que les valeurs de la fonction aux extrémités de cet intervalle sont égales, alors il existe au moins un point à l'intérieur de l'intervalle où la dérivée de la fonction s'annule.

Ce théorème est une généralisation du cas particulier où $a$ et $b$ sont égaux. Dans ce cas, on obtient le théorème de Rolle, qui stipule que si une fonction est continue sur un intervalle fermé et dérivable sur l'intervalle ouvert correspondant, alors il existe au moins un point à l'intérieur de l'intervalle où la dérivée de la fonction est nulle.

Le théorème des accroissements finis est souvent utilisé pour prouver d'autres résultats en analyse, et il constitue une étape clé dans la démonstration du théorème fondamental du calcul différentiel et intégral. Il a également des applications dans divers domaines des mathématiques, notamment en optimisation, en théorie des équations différentielles et en théorie des fonctions réelles.