Le théorème de Donsker, fondamental dans la théorie des probabilités et des processus stochastiques
Le théorème de Donsker, également connu sous le nom de théorème de Donsker invariance principle, est un résultat fondamental de la théorie des probabilités et des processus stochastiques. Ce théorème établit une relation entre la convergence d'une séquence de processus empiriques normalisés vers un processus stochastique appelé processus de Wiener ou mouvement brownien.
Formellement, le théorème de Donsker énonce que si X₁, X₂, ..., Xₙ sont des variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées (i.i.d.) avec une moyenne μ et une variance σ² finies, et si Sₙ(t) est le processus empirique défini par :
Sₙ(t) = (X₁ + X₂ + ... + X_{⌊nt⌋}) / √n, alors le processus empirique Sₙ(t) converge en distribution vers le processus de Wiener W(t) lorsque n tend vers l'infini.
Le processus de Wiener ou mouvement brownien W(t) est un processus stochastique continu en temps t, avec les propriétés suivantes :
- W(0) = 0.
- Les incréments de W(t) sont indépendants et suivent une distribution normale, c'est-à-dire que pour tous 0 ≤ s < t, W(t) - W(s) suit une distribution normale avec une moyenne de 0 et une variance de t - s.
- W(t) possède une trajectoire presque sûrement continue.
Le théorème de Donsker montre que les processus empiriques normalisés, construits à partir de variables aléatoires i.i.d., convergent vers un processus stochastique universel, le processus de Wiener, qui est une approximation des phénomènes aléatoires complexes observés dans de nombreux domaines.
Ce théorème a de nombreuses applications, notamment en statistique non paramétrique, en théorie des probabilités, en économétrie et en finance. Il est utilisé pour justifier l'utilisation du mouvement brownien comme modèle de référence pour de nombreux phénomènes aléatoires et pour développer des méthodes d'estimation et d'inférence statistiques.
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