Le processus d'Ornstein-Uhlenbeck, un type de processus stochastique largement utilisé en physique
Le processus d'Ornstein-Uhlenbeck est un type de processus stochastique largement utilisé en physique, en finance et dans d'autres domaines pour modéliser des phénomènes de diffusion avec un comportement de retour à une valeur d'équilibre.
Ce processus tire son nom des mathématiciens Leonard Ornstein et George Uhlenbeck, qui l'ont introduit dans les années 1930. Il est souvent utilisé pour décrire des systèmes physiques où une particule subit à la fois une force aléatoire et une force de rappel qui tend à la ramener vers une position d'équilibre.
Mathématiquement, le processus d'Ornstein-Uhlenbeck est décrit par l'équation différentielle stochastique suivante :
dX(t) = -α * (X(t) - μ) dt + σ dW(t)
où :
- X(t) est la variable aléatoire représentant l'état du processus à l'instant t,
- α est un coefficient de rappel qui détermine la force de rappel du processus vers la valeur d'équilibre μ,
- μ est la valeur d'équilibre vers laquelle le processus tend,
- σ est l'intensité du bruit ou de la force aléatoire,
- dW(t) est un différentiel de Wiener, représentant un mouvement brownien.
Cette équation indique que la dérivée de X(t) est composée de deux termes : le premier terme, -α * (X(t) - μ), représente la force de rappel proportionnelle à la différence entre X(t) et μ, tandis que le second terme, σ dW(t), représente le bruit aléatoire ou la force stochastique.
Le processus d'Ornstein-Uhlenbeck possède des propriétés intéressantes, notamment une distribution stationnaire et une auto-corrélation exponentielle décroissante. Il est couramment utilisé pour modéliser des phénomènes de diffusion avec une tendance à revenir vers une position d'équilibre, tels que les mouvements des particules dans des milieux visqueux ou les fluctuations des prix financiers autour d'une moyenne.
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