La méthode de Cardan pour résoudre des équations insolubles

Les nombres complexes sont une extension des nombres réels et se présentent sous la forme a+bi+bi, où a et bbsont des nombres réels, et ii est l'unité imaginaire satisfaisant i2=−1. Cette extension est particulièrement utile pour résoudre des équations qui ne possèdent pas de solution dans l'ensemble des nombres réels.

Les nombres complexes sont une extension des nombres réels et se présentent sous la forme a+bi+bi, où a et bbsont des nombres réels, et ii est l'unité imaginaire satisfaisant i2=−1. Cette extension est particulièrement utile pour résoudre des équations qui ne possèdent pas de solution dans l'ensemble des nombres réels.

La formule de Cardan est un exemple remarquable d'application des nombres complexes dans la résolution d'équations cubiques, c'est-à-dire des équations de la forme ax3+bx2+cx+d=0. Établie au XVIe siècle par le mathématicien italien Gerolamo Cardano, cette formule offre une méthode pour trouver les racines d'une telle équation.

Pour simplifier, considérons une équation cubique réduite de la forme x3+px+q=0x3+px+q=0. La formule de Cardan s'exprime alors comme suit :

schéma

Dans cette expression, le terme sous la racine carrée,  peut être négatif, ce qui mène à des racines carrées de nombres négatifs et donc à l'utilisation de nombres complexes. C'est précisément dans de tels cas que les nombres complexes deviennent indispensables pour exprimer les solutions de l'équation.

Les solutions obtenues peuvent être réelles ou complexes, selon les valeurs de p et q. Cette formule démontre la puissance des nombres complexes en mathématiques, permettant de résoudre des équations qui, autrement, ne pourraient pas l'être dans le cadre des nombres réels seuls. La formule de Cardan illustre ainsi comment l'introduction des nombres complexes a significativement élargi le champ des possibles en algèbre.

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Gerolamo Cardano, né en 1501 à Pavie et décédé en 1576, fut un mathématicien, médecin, astronome et philosophe italien de la Renaissance. Figure éminente de son époque, le scientifique est surtout connu pour ses contributions significatives dans les domaines des mathématiques et de la science. Parmi ses réalisations les plus célèbres figure la publication de la formule de résolution des équations cubiques, communément appelée la formule de Cardan. Cette découverte a marqué un tournant dans l'histoire des mathématiques, car elle a fourni une méthode systématique pour résoudre une classe entière d'équations auparavant considérées comme insolubles. Outre ses travaux en algèbre, Cardano a également écrit sur la probabilité, faisant de lui l'un des pionniers dans l'étude de cette discipline. Sa curiosité insatiable l'a également amené à explorer divers autres champs, y compris la mécanique et l'astrologie, bien que cette dernière ait suscité controverses et critiques. Malgré les défis personnels et professionnels auxquels il a été confronté tout au long de sa vie, l'héritage du mathématicien en tant que polymathe de la Renaissance reste profondément ancré dans l'histoire de la science.
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A voir : INTRODUCTION AUX NOMBRES COMPLEXES. FORMULE DE CARDAN

Lire :
Brescia, février 1512. Les armées françaises de Louis XII envahissent la ville, la pillent et massacrent ses habitants. Dans la fureur du combat, un garçon de douze ans est frappé d'un coup de sabre en plein visage. Grièvement blessé, il restera bègue toute sa vie et sera connu sous le nom de Tartaglia (« bègue » en italien). Autodidacte, ce grand mathématicien est avec son collègue et rival Jérôme Cardan l'un des protagonistes d'un moment crucial de l'histoire des mathématiques : la découverte de la formule pour résoudre les équations du troisième degré, le premier véritable progrès de l'algèbre depuis plusieurs siècles. Au xvie siècle, les mathématiciens italiens se lancent des défis et s'affrontent en duels publics pour résoudre des problèmes difficiles devant des spectateurs passionnés. De la victoire ou de la défaite dépend la fortune personnelle et scientifique des deux adversaires. Suivant cette tradition, Tartaglia et Cardan sont les acteurs majeurs - avec Scipione Dal Ferro, Ludovico Ferrari, etc. -, de la polémique la plus féroce que l'histoire des mathématiques ait jamais connue.