La matrice de Gram

La matrice de Gram est une matrice carrée symétrique  construite à partir d'un ensemble de vecteurs dans un espace vectoriel. Cette matrice est utilisée en algèbre linéaire et en analyse fonctionnelle pour caractériser les propriétés géométriques et algébriques d'un ensemble de vecteurs.

Plus précisément, si on considère un ensemble de n vecteurs x1, x2, ..., xn dans un espace vectoriel V de dimension finie, la matrice de Gram est la matrice carrée symétrique G de taille n×n dont les éléments sont définis par :

Gij = ⟨xi, xj⟩

où ⟨ , ⟩ représente le produit scalaire dans l'espace vectoriel V.

La matrice contient des informations sur les angles entre les vecteurs xi et xj, ainsi que sur leur norme respective. Elle est souvent utilisée pour étudier les propriétés de bases orthogonales ou orthonormales, ainsi que pour résoudre des problèmes de minimisation d'énergie ou de projection orthogonale.

En particulier, si les vecteurs xi sont linéairement indépendants, alors la matrice de Gram est inversible et peut être utilisée pour construire une base orthonormale de V.