La loi binomiale pour modéliser des événements binaires
La loi binomiale en mathématiques financières est une distribution de probabilité discrète utilisée pour modéliser des situations où il y a deux résultats possibles, généralement notés "succès" et "échec", et où chaque essai est indépendant et a la même probabilité de succès.
En finance, cette loi est couramment utilisée pour modéliser des événements binaires tels que les gains ou les pertes dans les investissements, les taux de rendement des actifs financiers, les probabilités de défaut dans les obligations, etc. Elle est basée sur l'idée que les résultats successifs sont indépendants et que la probabilité de succès reste constante pour chaque essai.
Cette loi est régie par deux paramètres : le nombre d'essais, noté "n", et la probabilité de succès dans chaque essai, notée "p". La probabilité d'obtenir exactement "k" succès dans "n" essais peut être calculée à l'aide de la formule de la loi binomiale :
P(X = k) = (nCk) * p^k * (1-p)^(n-k)
Où :
- nCk représente le coefficient binomial, qui donne le nombre de façons de choisir "k" succès parmi "n" essais.
- p^k représente la probabilité de succès élevée à la puissance "k".
- (1-p)^(n-k) représente la probabilité d'échec élevée à la puissance "n-k".
En utilisant la loi binomiale, on peut calculer diverses mesures statistiques dont la moyenne, la variance et l'écart type des variables financières basées sur des événements binaires.
Il convient de noter que la loi binomiale repose sur certaines hypothèses simplificatrices, notamment l'indépendance des essais et la constance de la probabilité de succès. Dans certains cas plus complexes, d'autres distributions de probabilité, telles que la loi normale ou la loi de Poisson, peuvent être utilisées pour modéliser les événements financiers.
La loi de Poisson
La loi de Poisson est une distribution de probabilité discrète utilisée pour modéliser le nombre d'événements rares qui se produisent dans un intervalle de temps ou d'espace donné. Elle est nommée d'après le mathématicien français Siméon Denis Poisson.
Souvent utilisée dans différents domaines, y compris les mathématiques financières pour modéliser des événements dont les arrivées de clients dans une file d'attente, les accidents de la route, les appels téléphoniques, les défaillances de machines, etc, cette loi est particulièrement utile lorsque les événements se produisent de manière indépendante et à un taux constant.
La loi de Poisson est définie par un seul paramètre, généralement noté "λ" (lambda), qui représente le taux moyen d'occurrence des événements sur l'intervalle de temps ou d'espace donné. La probabilité d'observer exactement "k" événements dans cet intervalle peut être calculée à l'aide de la formule de la loi de Poisson :
P(X = k) = (e^(-λ) * λ^k) / k!
Où :
- e est la constante mathématique "e" (environ 2,71828).
- λ^k représente lambda élevé à la puissance "k".
- k! est le facteur d'échelle, qui représente la factorielle de "k".
La moyenne (espérance) et la variance de la loi de Poisson sont toutes deux égales à λ.
En utilisant la loi de Poisson, on peut estimer la probabilité d'un certain nombre d'événements dans un intervalle donné, ainsi que d'autres mesures statistiques telles que la médiane et les quantiles.
Il est important de noter que la loi de Poisson repose sur certaines hypothèses, notamment l'indépendance des événements et le taux moyen d'occurrence constant. Dans certains cas, d'autres distributions de probabilité, telles que la loi normale ou la loi binomiale, peuvent être utilisées comme alternatives ou approximations lorsque les conditions de la loi de Poisson ne sont pas remplies.
Lien vidéo utile : Saïd Chermak - Loi binomiale au bac, BTS, ACE Paris
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