La factorisation de Cholesky en mathématiques
La factorisation de Cholesky est une méthode numérique de décomposition d'une matrice symétrique et définie positive en un produit de deux matrices triangulaires. Cette décomposition est utile pour résoudre des systèmes linéaires et pour effectuer des analyses de régression linéaire.
La méthode est particulièrement utile pour résoudre des systèmes linéaires impliquant des matrices symétriques définies positives, car elle est plus rapide et plus stable numériquement que d'autres méthodes de décomposition telles que la décomposition LU.
La factorisation de Cholesky est définie comme suit : soit A une matrice symétrique définie positive de taille n x n. Alors il existe une unique matrice triangulaire inférieure L de taille n x n telle que A = LL^T, où L^T est la transposée de L.
La factorisation est utile pour résoudre des systèmes linéaires Ax = b en deux étapes. Tout d'abord, on trouve L en appliquant la méthode de Cholesky à la matrice A. Ensuite, on résout deux systèmes linéaires triangulaires : Ly = b et L^Tx = y, pour obtenir la solution x.
La méthode sert dans des domaines de la statistique, l'optimisation et l'analyse numérique, où il est important de résoudre efficacement des systèmes linéaires impliquant des matrices symétriques définies positives.
