La décomposition canonique en mathématiques
La décomposition canonique, également connue sous le nom de factorisation en facteurs premiers, est un processus mathématique qui consiste à écrire un nombre ou une expression mathématique comme un produit de facteurs premiers.
La factorisation en facteurs premiers consiste à décomposer un nombre en une multiplication de facteurs premiers. Ils sont les nombres premiers qui ne peuvent pas être décomposés en d'autres nombres premiers. Par exemple, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, etc., sont des nombres premiers.
Pour décomposer un nombre en facteurs premiers, on commence par trouver un facteur premier de ce nombre, puis on divise le nombre par ce facteur premier. On continue ensuite à chercher des facteurs premiers du quotient obtenu, jusqu'à ce que le quotient ne puisse plus être divisé par un facteur premier. Le produit de tous les facteurs premiers obtenus est la décomposition canonique du nombre.
Par exemple, pour décomposer le nombre 60 en facteurs premiers, nous pouvons procéder comme suit :
- Trouver un facteur premier de 60, par exemple 2.
- Diviser 60 par 2 pour obtenir 30.
- Trouver un facteur premier de 30, par exemple 2.
- Diviser 30 par 2 pour obtenir 15.
- Trouver un facteur premier de 15, par exemple 3.
- Le quotient 15 ne peut plus être divisé par un facteur premier, car les facteurs premiers suivants sont plus grands que la racine carrée de 15.
- Le produit de tous les facteurs premiers obtenus est donc 2 x 2 x 3 x 5 = 60.
Ainsi, la décomposition canonique de 60 est 2 x 2 x 3 x 5.
La décomposition canonique est utile en mathématiques pour simplifier des expressions, résoudre des équations, ou encore trouver des diviseurs communs entre plusieurs nombres.
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Isomorphisme en mathématiques
En mathématiques, un isomorphisme est une notion qui décrit une relation entre deux structures mathématiques qui sont "essentiellement les mêmes". Plus précisément, un isomorphisme est une bijection (une fonction injective et surjective) entre deux ensembles qui préserve la structure et les propriétés des ensembles.
Plus formellement, si A et B sont deux ensembles avec une structure mathématique (par exemple, un groupe, un anneau, un espace vectoriel, etc.), un isomorphisme entre A et B est une bijection f : A → B telle que pour tout élément x, y de A, les propriétés suivantes sont satisfaites :
- f(x + y) = f(x) + f(y) (si A et B sont des groupes additifs, par exemple)
- f(xy) = f(x) f(y) (si A et B sont des anneaux, par exemple)
- f(ax + by) = af(x) + bf(y) (si A et B sont des espaces vectoriels sur un même corps K, par exemple)
En d'autres termes, un isomorphisme entre deux ensembles A et B préserve la structure mathématique de A et B, de sorte que si A et B sont isomorphes, ils ont les mêmes propriétés mathématiques et sont indiscernables l'un de l'autre sur le plan mathématique.
L'isomorphisme est une notion importante en mathématiques car il permet de transférer des propriétés et des résultats d'une structure à une autre. Par exemple, si deux groupes sont isomorphes, alors ils ont les mêmes propriétés algébriques, de sorte que les résultats prouvés pour l'un sont également valables pour l'autre.
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