La connexion de Levi-Civita ou la particularité d'être sans torsion

La connexion de Levi-Civita est un concept fondamental en géométrie riemannienne. Elle représente une manière de généraliser la notion de dérivée directionnelle de champs de vecteurs sur des variétés différentielles équipées d'une métrique riemannienne. Cette connexion a la particularité d'être sans torsion et de préserver la métrique, ce qui la rend particulièrement adaptée à l'étude des propriétés géométriques intrinsèques des variétés.

Définition et Propriétés

Définition: La connexion de Levi-Civita sur une variété riemannienne M est l'unique connexion ∇ qui est compatible avec la métrique riemannienne g et qui est sans torsion. En termes mathématiques, cela signifie que :

• Compatibilité avec la métrique ($g$-compatibilité) : Pour tous champs de vecteurs $,Y,Z$ sur M,
  $$X(g(Y,Z))=g({\nabla }^{X}Y,Z)+g(Y,{\nabla }^{X}Z)$$
• Absence de torsion : Pour tous champs de vecteurs $X,Y$ sur M,
  $${\nabla }^{X}Y-{\nabla }^{Y}X=[X,Y]$$
  où $[X,Y]$ est le crochet de Lie de X et Y, représentant la différence entre les deux manières possibles de dériver Y le long de X et vice versa.

Rôle en Géométrie Riemannienne

La connexion de Levi-Civita est essentielle pour plusieurs raisons :

1. Transport Parallèle: Elle définit un moyen de transporter parallèlement des vecteurs le long de courbes sur la variété. Ce transport est crucial pour définir des géodésiques, qui sont des courbes représentant le chemin le plus court ou le moins courbé entre deux points sur la variété.

2. Définition des Géodésiques: Les géodésiques sur une variété riemannienne sont les courbes dont le vecteur tangent reste parallèle à lui-même le long de la courbe selon la connexion de Levi-Civita. Mathématiquement, une courbe $\gamma (t)$ est une géodésique si

   $${\nabla }^{\dot{\gamma }}\dot{\gamma }=0$$

   où $\dot{}$ est le vecteur tangent à γ en fonction de t.

3. Étude de la Courbure: La connexion de Levi-Civita est utilisée pour définir le tenseur de Riemann, qui mesure la courbure de la variété. La courbure de Riemann est un outil essentiel pour comprendre la géométrie globale de la variété, incluant des aspects comme sa courbure sectionnelle, sa courbure de Ricci et sa courbure scalaire.

Applications

Les applications de la connexion de Levi-Civita sont vastes et touchent à plusieurs domaines de la physique et des mathématiques, notamment : 

• Relativité Générale : La notion de connexion de Levi-Civita est centrale dans la formulation des équations d'Einstein, qui décrivent comment la matière et l'énergie influencent la courbure de l'espace-temps.
• Mécanique : Les géodésiques peuvent représenter des trajectoires de particules ou de corps sous l'effet de forces conservatrices dans un espace configuré.

En résumé, la connexion de Levi-Civita fournit un cadre cohérent pour étudier la géométrie et la dynamique sur des variétés riemanniennes, facilitant ainsi l'exploration de concepts complexes en géométrie et en physique théorique.