L'arithmétique dans l'ensemble des entiers relatifs, concept précieux dans l'ingéniérie et la finance

L'arithmétique dans l'ensemble des entiers relatifs, noté ℤ, est l'ensemble des opérations mathématiques qui peuvent être effectuées sur les entiers relatifs. Ces opérations comprennent l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et la congruence.

Addition

L'addition d'entiers relatifs est définie comme suit :

a + b = c

où a, b et c sont des entiers relatifs.

Soustraction

La soustraction d'entiers relatifs est définie comme suit :

a - b = c

où a et b sont des entiers relatifs et c est le plus grand entier relatif inférieur à a - b.

Multiplication

La multiplication d'entiers relatifs est définie comme suit :

a × b = c

où a et b sont des entiers relatifs et c est le produit de a et b.

Division

La division d'entiers relatifs est définie comme suit :

a ÷ b = c

où a et b sont des entiers relatifs et c est le quotient de a et b.

Congruence

La congruence d'entiers relatifs est définie comme suit :

a ≡ b (mod n)

signifie que a et b ont la même image modulo n.

Propriétés des opérations arithmétiques dans ℤ

Les opérations arithmétiques dans ℤ satisfont les propriétés suivantes :

• Associativité :
  • (a + b) + c = a + (b + c)
  • (a × b) × c = a × (b × c)
• Commutativité :
  • a + b = b + a
  • a × b = b × a
• Distributivité :
  • a × (b + c) = a × b + a × c
  • (a + b) × c = a × c + b × c
• Identité :
  • 0 + a = a
  • 1 × a = a
• Inverse additif :
  • pour tout entier a, il existe un entier b tel que a + b = 0
• Inverse multiplicatif :
  • pour tout entier non nul a, il existe un entier b tel que a × b = 1

Exemples

Voici quelques exemples d'opérations arithmétiques dans ℤ :

• 5 + 3 = 8
• 7 - 2 = 5
• 3 × 2 = 6
• 12 ÷ 4 = 3
• 10 ≡ 2 (mod 3)

Applications

L'arithmétique dans l'ensemble des entiers relatifs est utilisée dans de nombreux domaines,  mathématiques, les sciences, l'ingénierie et la finance.

En mathématiques, cette branche est utilisée pour résoudre des problèmes de base, comme la résolution d'équations et d'inéquations. Elle est également utilisée pour étudier des concepts plus avancés, tels que les nombres premiers et les nombres complexes.

En sciences, elle est utilisée pour résoudre des problèmes physiques, comme la mécanique et l'électromagnétisme et également pour résoudre des problèmes biologiques, comme la génétique et la biochimie.

En ingénierie, est utilisée pour résoudre des problèmes de conception et de construction et aussi utilisée pour résoudre des problèmes de fabrication et de production.

En finance,  pour calculer des intérêts, des impôts et des bénéfices et également  pour analyser des investissements et des marchés financiers.