Georg Cantor : la notion de cardinalité
Georg Cantor (1845-1918) est un mathématicien allemand qui se distingua pour avoir développé la théorie des ensembles, ces dernières ayant influencé les mathématiques modernes.
Cantor commence à travailler sur les ensembles à la fin des années 1860, lorsqu'il cherche généraliser la notion de nombre entier en utilisant des ensembles infinis. Il propose la notion de cardinalité, qui mesure la taille d'un ensemble, même s'il est infini. Par exemple, les ensembles des nombres pairs et des nombres impairs ont la même cardinalité, car il est possible de les mettre en correspondance un à un.
Cantor va également découvrir que certains ensembles infinis sont plus grands que d'autres, en proposant une hiérarchie de cardinalités infinies appelée nombres de cardinalité transfinie. Par exemple, il montre que l'ensemble des nombres réels est plus grand que l'ensemble des nombres entiers.
Les travaux de Cantor ont suscité de nombreux débats et controverses à son époque, et certains mathématiciens de l'époque iront même jusqu'à rejeter sa théorie des ensembles expliquant qu'elle est paradoxale ou inutile. Cependant, ses idées finiront par être acceptées et auront un impact considérable sur le développement des mathématiques modernes, y compris dans des domaines comme l'analyse, la topologie et la logique.
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La notion de cardinalité
La notion de cardinalité est un concept fondamental en théorie des ensembles, introduite par Georg Cantor au 19ème siècle. La cardinalité mesure la taille d'un ensemble, en d'autres termes, le nombre d'éléments qu'il contient.
Pour des ensembles finis, la cardinalité est simplement le nombre d'éléments dans l'ensemble. Par exemple, l'ensemble {1, 2, 3, 4} a une cardinalité de 4.
Cependant, pour des ensembles infinis, la notion de cardinalité est plus subtile. Cantor a montré qu'il était possible de comparer la cardinalité de deux ensembles infinis en les mettant en correspondance un à un. Cela signifie qu'il existe une bijection (une correspondance un-à-un et surjective) entre les deux ensembles, de sorte que chaque élément de l'un est associé à un et un seul élément de l'autre.
Par exemple, les ensembles {1, 2, 3, ...} et {2, 4, 6, ...} ont la même cardinalité car on peut les mettre en correspondance un à un en associant le nombre n avec le nombre 2n. De même, l'ensemble des nombres pairs a la même cardinalité que l'ensemble des nombres impairs car on peut les mettre en correspondance un à un en associant chaque nombre pair avec son suivant impair.
Cantor a aussi montré que certains ensembles infinis sont plus grands que d'autres en introduisant la notion de nombres de cardinalité transfinie. Par exemple, l'ensemble des nombres réels possède une cardinalité plus grande que l'ensemble des nombres entiers et il est impossible de mettre en correspondance un à un tous les nombres réels avec tous les nombres entiers. Cette découverte va révolutionner notre compréhension des ensembles infinis et aura des implications profondes pour es mathématiques modernes.
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