Les problèmes mathématiques non résolus ou des mystères qui défient l'entendement

La Conjecture de Goldbach est l'une des énigmes mathématiques les plus anciennes et célèbres. Elle a été formulée par le mathématicien prussien Christian Goldbach dans une lettre adressée à Euler en 1742. La conjecture énonce que tout nombre pair plus grand que 2 peut être exprimé comme la somme de deux nombres premiers. Autrement dit, pour tout nombre pair $n>2$, il existe des nombres premiers $p^1$ et $p^2$ tels que $n=p^1+p^2$.

Bien que la conjecture de Goldbach ait été vérifiée pour des nombres extrêmement grands et qu'elle semble plausible, elle demeure non démontrée de manière générale. Les mathématiciens ont réussi à montrer que toute suffisamment grande énumération des nombres pairs positifs peut être décomposée en sommes de deux nombres premiers, mais une preuve complète pour tous les nombres pairs reste évasive.

De nombreux mathématiciens célèbres ont tenté de résoudre cette conjecture au fil des siècles, mais aucun n'a encore présenté une preuve concluante. Malgré cela, la conjecture de Goldbach a été confirmée pour des valeurs extrêmement grandes et est devenue l'un des problèmes non résolus les plus connus en mathématiques.

Les avancées technologiques et informatiques ont permis de vérifier la conjecture pour des nombres beaucoup plus grands, mais le défi consiste toujours à établir une démonstration formelle qui couvre tous les cas possibles. La conjecture de Goldbach reste donc un mystère mathématique fascinant qui continue de stimuler la recherche et l'exploration dans le domaine de la théorie des nombres.

En savoir plus : https://fr.wikipedia.org/wiki/Conjecture_de_Goldbach

L'Hypothèse de Riemann est l'un des problèmes les plus célèbres et mystérieux de la théorie des nombres. Elle tire son nom du mathématicien allemand Bernhard Riemann, qui l'a formulée en 1859 dans son célèbre article "Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse" ("Sur le nombre de nombres premiers inférieurs à une grandeur donnée").

L'hypothèse concerne la distribution des zéros non triviaux de la fonction zêta de Riemann, notée $\zeta (s)$. Cette fonction est définie pour des nombres complexes $s$ et est initialement définie pour $\text{Re}(s)>1$, mais elle peut être analytiquement prolongée à d'autres régions du plan complexe.

L'Hypothèse de Riemann stipule que tous les zéros non triviaux de la fonction zêta de Riemann ont une partie réelle égale à $1/2$. Les zéros non triviaux sont les solutions de l'équation $\zeta (s)=0$ pour $s$ dans la région critique, c'est-à-dire avec $0<\text{Re}(s)<1$.

L'importance de l'Hypothèse de Riemann réside dans ses implications profondes pour la distribution des nombres premiers. Si l'hypothèse est vraie, elle fournirait des informations détaillées sur la distribution des nombres premiers, confirmant la validité de nombreuses conjectures liées aux propriétés statistiques des nombres premiers. Cependant, jusqu'à présent, personne n'a été en mesure de prouver ou de réfuter cette hypothèse.

L'Hypothèse de Riemann est l'un des sept problèmes du prix du millénaire déclarés par l'Institut de mathématiques de Clay, et une récompense de un million de dollars est offerte à quiconque peut apporter une preuve concluante, qu'elle soit positive ou négative. Malgré de nombreux résultats partiels et des avancées dans la compréhension de la fonction zêta de Riemann, l'hypothèse demeure l'un des grands mystères de la mathématique contemporaine.

En savoir plus : https://www.youtube.com/watch?v=02rHA_Ay13M

Le Problème de Collatz, également connu sous le nom de conjecture de Collatz, est un problème mathématique simple à énoncer mais qui défie la résolution depuis de nombreuses années. Il a été formulé par le mathématicien allemand Lothar Collatz en 1937.

Le problème est défini par la séquence itérative suivante :

1. Commencez avec n'importe quel nombre entier positif $n$.
2. Si $n$ est pair, divisez-le par 2.
3. Si $n$ est impair, multipliez-le par 3 et ajoutez 1.
4. Répétez le processus indéfiniment.

La conjecture de Collatz suggère que quelle que soit la valeur initiale de $n$, la séquence finira toujours par atteindre la valeur 1. En d'autres termes, pour tout $n$, la séquence suivra la trajectoire : $n,\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2},\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{4},\dots ,1$.

Bien que cette conjecture ait été vérifiée pour d'innombrables valeurs de $n$ et que la séquence semble converger vers 1, une démonstration formelle de cette propriété pour toutes les valeurs de $n$ reste évasive. Certains nombres peuvent générer des séquences extrêmement longues avant de finalement atteindre 1, ce qui rend le problème particulièrement délicat.

Le Problème de Collatz est souvent utilisé comme exemple d'un problème simple à comprendre mais difficile à résoudre en mathématiques. Malgré son apparence élémentaire, la communauté mathématique n'a pas encore réussi à prouver ou à réfuter la conjecture de Collatz pour tous les entiers positifs.

En savoir plus : https://sain-et-naturel.ouest-france.fr/conjecture-de-collatz-un-probleme-mathematique-simple.html

Le problème P = NP est l'un des problèmes les plus fondamentaux de l'informatique théorique. Il concerne la complexité algorithmique et est formulé de manière à interroger la relation entre la facilité de vérifier une solution et la facilité de trouver cette solution.

Voici une explication simplifiée :

• P (Polynomial) : C'est la classe de problèmes pour lesquels une solution peut être vérifiée rapidement (en temps polynomial). En d'autres termes, si vous avez une solution, vous pouvez la vérifier efficacement.

• NP (Non-deterministic Polynomial) : C'est la classe de problèmes pour lesquels une solution peut être trouvée rapidement (en temps polynomial), mais sans garantie qu'une solution correcte sera trouvée rapidement. En d'autres termes, si vous avez une supposition (solution potentielle), vous pouvez la vérifier rapidement.

La question du problème P = NP est de savoir si tous les problèmes dans NP sont également dans P, c'est-à-dire si chaque problème pour lequel une solution peut être vérifiée rapidement peut également être résolu rapidement.

Si P est égal à NP, cela signifierait que, contrairement à notre intuition actuelle, trouver une solution efficace pour un problème est tout aussi facile que vérifier une solution. Cela aurait des implications majeures, notamment pour la cryptographie, où la sécurité de nombreux protocoles repose sur le fait que certains problèmes sont difficiles à résoudre, même si leurs solutions peuvent être vérifiées rapidement.

Cependant, à ce jour, la question de P = NP reste non résolue. C'est l'un des problèmes du prix du millénaire, ce qui signifie qu'une récompense de un million de dollars est offerte pour une solution complète au problème. Bien que des progrès aient été réalisés dans la compréhension de la complexité des algorithmes, la question fondamentale de savoir si P est égal à NP ou non reste un défi ouvert dans le domaine de l'informatique théorique.

En savoir plus : https://www.ambient-it.net/p-np/

La Conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer est un problème ouvert en théorie des nombres, spécifiquement dans le domaine des courbes elliptiques. Cette conjecture a été formulée par le mathématicien britannique Bryan Birch et le mathématicien britannique-irlandais Peter Swinnerton-Dyer en 1965.

La conjecture énonce une relation entre le nombre de points rationnels sur une courbe elliptique définie sur un corps de nombres (comme les nombres rationnels) et des propriétés analytiques de la fonction L associée à cette courbe elliptique.

Plus précisément, soit E une courbe elliptique définie par une équation de la forme $y^2=x^3+ax+b$, où a, b sont des constantes spécifiques. La conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer suggère que le nombre de points rationnels sur la courbe elliptique E (noté NE​) est lié à la fonction L associée à E. En particulier, si la fonction L a un zéro non trivial (c'est-à-dire, un zéro qui n'est pas simplement dû à la factorisation triviale de la fonction), alors le nombre de points rationnels sur la courbe elliptique est infini.

Mathématiquement, la conjecture peut être formulée de manière plus précise en introduisant la fonction L d'une courbe elliptique E : L(E,s). La conjecture stipule que si L(E,1)=0, alors le rang de la courbe elliptique ($\text{rank}(E)$) est non trivial, ce qui signifie qu'il existe une infinité de points rationnels sur la courbe.

La Conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer est l'une des sept questions du prix du millénaire, ce qui signifie qu'elle est l'un des problèmes mathématiques les plus difficiles et les plus importants actuellement non résolus. Résoudre cette conjecture aurait des implications profondes pour la compréhension des courbes elliptiques et des nombres rationnels. Cependant, à ce jour, la conjecture demeure non démontrée et représente un défi significatif pour les mathématiciens.

En savoir plus : https://www.youtube.com/watch?v=UtTwv3Juusg