Maths : le syllogisme, un raisonnement déductif
En mathématiques, le syllogisme est une forme de raisonnement déductif qui consiste à partir de deux propositions, les prémisses, pour en déduire une troisième, la conclusion.
Cette approche de raisonnement très ancienne, fut formalisée par Aristote dans son ouvrage Organon.
La structure du syllogisme
Ce type de raisonnement est composé de trois propositions :
- La première proposition, appelée majeure, énonce une propriété générale.
- La deuxième proposition, appelée mineure, énonce une propriété particulière qui s'applique à un objet ou une situation particulière.
- La troisième proposition, appelée conclusion, énonce une propriété qui s'applique à cet objet ou cette situation particulière.
La majeure et la mineure sont reliées par un prédicat commun, appelé moyen terme. Le moyen terme est une propriété qui est partagée par la majeure et la mineure.
Les trois types de syllogismes
Aristote a identifié trois types de syllogismes :
- Le syllogisme catégorique est le type de syllogisme le plus courant. Il se compose de deux propositions catégoriques, c'est-à-dire de propositions qui affirment ou nient une propriété d'un objet ou d'une situation.
- Le syllogisme hypothétique est un syllogisme qui se compose de deux propositions hypothétiques, c'est-à-dire de propositions qui établissent une relation de conditionnalité entre deux propositions.
- Le syllogisme disjonctif est un syllogisme qui se compose de deux propositions disjonctives, c'est-à-dire de propositions qui établissent une relation d'exclusion entre deux propositions.
Exemples de syllogismes
Voici quelques exemples de syllogismes :
- Syllogisme catégorique
Tout homme est mortel.
Socrate est un homme.
Donc, Socrate est mortel.
- Syllogisme hypothétique
Si il pleut, alors les rues sont mouillées.
Il pleut.
Donc, les rues sont mouillées.
- Syllogisme disjonctif
Soit x est un nombre pair, soit x est un nombre impair.
x est un nombre pair.
Donc, x n'est pas un nombre impair.
Utilisation en mathématiques
Ce principe de raisonnement est pratiqué en mathématiques pour prouver de nombreuses propriétés. Par exemple, il démontrera que la somme des angles d'un triangle est égale à 180 degrés.
La validité
Un syllogisme est valide si la conclusion est vraie lorsque les prémisses sont vraies.
Pour déterminer si un syllogisme est valide, on peut utiliser une grille de vérité. Une grille de vérité est un tableau qui permet de représenter toutes les combinaisons possibles de valeurs de vérité pour les prémisses et la conclusion d'un syllogisme.
Si la conclusion est vraie dans tous les cas où les prémisses sont vraies, alors le syllogisme est valide.
