La conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer, un des problèmes non résolus les plus célèbres en mathématiques
La conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer est l'un des problèmes non résolus les plus célèbres en mathématiques, relevant du domaine de la théorie des nombres et plus spécifiquement de la théorie des courbes elliptiques. Elle fut formulée en 1965 par Bryan Birch et Peter Swinnerton-Dyer.
La conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer établit une relation profonde entre les propriétés des courbes elliptiques et les valeurs des fonctions L associées à ces courbes. Une courbe elliptique est une courbe définie par une équation cubique de la forme y² = x³ + ax + b, où a et b sont des coefficients constants.
La conjecture suggère que pour chaque courbe elliptique, il existe une correspondance entre les propriétés arithmétiques de la courbe et les propriétés analytiques de la fonction L associée à cette courbe. En particulier, la conjecture stipule que le rang de la courbe elliptique (qui mesure le nombre de points rationnels indépendants sur la courbe) est lié à la valeur de la fonction L au point critique central. Plus précisément, si la fonction L admet un pôle d'ordre 1 à ce point, alors le rang de la courbe est égal à zéro, ce qui signifie qu'il n'y a qu'un nombre fini de points rationnels sur la courbe. Si la fonction L admet un zéro d'ordre égal au rang, alors il y a une infinité de points rationnels sur la courbe.
La conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer a des implications profondes dans la théorie des nombres et a été partiellement démontrée dans certains cas particuliers, mais reste non résolue de manière générale. Sa résolution complète pourrait apporter des éclaircissements majeurs sur la structure des courbes elliptiques et sur la distribution des points rationnels sur ces courbes.
La conjecture suscite beaucoup d'intérêt et motive de nombreuses recherches et avancées dans le domaine de la théorie des courbes elliptiques. Sa compréhension complète représente encore un défi majeur pour les mathématiciens et reste un problème ouvert passionnant de nos jours.
