Le théorème d'Apéry : une avancée significative en théorie des nombres
Le théorème d'Apéry, également connu sous le nom de conjecture d'Apéry, est un résultat important en théorie des nombres. Il a été formulé par le mathématicien français Roger Apéry en 1978. Le théorème concerne les propriétés des valeurs de la fonction zêta de Riemann aux entiers impairs.
Formellement, le théorème d'Apéry s'énonce comme suit :
La constante ζ(3)ζ(3), où ζζ est la fonction zêta de Riemann, est un nombre irrationnel.
La fonction zêta de Riemann est définie pour les nombres complexes ss avec une partie réelle Re(s)>1Re(s)>1 par la série infinie ζ(s)=∑n=1∞1nsζ(s)=∑n=1∞ns1. La constante ζ(3)ζ(3) est la valeur de la fonction zêta de Riemann pour s=3s=3.
Le théorème est remarquable car il fournit une preuve de l'irrationalité spécifique de ζ(3)ζ(3). Auparavant, la question de savoir si ζ(3)ζ(3) était un nombre irrationnel était un problème ouvert et très étudié en théorie des nombres.
La preuve d'Apéry du théorème repose sur des techniques avancées de la théorie des nombres, notamment l'analyse combinatoire, les séries hypergéométriques et les propriétés des fractions continues. La preuve d'Apéry fut un exploit mathématique majeur et suscita un grand intérêt dans la communauté mathématique.
Le théorème a des implications profondes en théorie des nombres et en mathématiques en général. Il fournit une compréhension plus profonde de la nature des nombres irrationnels et de la structure des valeurs de la fonction zêta de Riemann. Les techniques utilisées dans la preuve d'Apéry ont également été utilisées dans d'autres contextes mathématiques, tels que la résolution de problèmes liés aux séries hypergéométriques et aux équations diophantiennes.
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