Le théorème d'Artin-Schreier : un concept important en théorie des corps et en théorie de Galois

Le théorème d'Artin-Schreier est un concept important en théorie des corps et en théorie de Galois. Il a été formulé par les mathématiciens Emil Artin et Otto Schreier au début du 20e siècle. Le théorème établit une correspondance entre les extensions de corps finis et les extensions de corps de caractéristique positive.

Formellement, le théorème d'Artin-Schreier s'énonce comme suit :

Soit $K$ un corps de caractéristique $p>0$ et $L$ une extension de $K$. Alors l'extension $L/K$ est finie si et seulement si $L$ est engendré comme corps sur $K$ par les éléments $x$ tels que $x^p-x\in K$.

En d'autres termes, si $L$ est une extension de $K$ dans laquelle chaque élément est une racine de l'équation $x^p-x=0$ pour $p$ une puissance de $p>0$, alors $L$ est finie sur $K$.

Le théorème d'Artin-Schreier a des implications profondes en théorie de Galois. Il permet de caractériser les extensions finies de corps de caractéristique positive en termes d'équations polynomiales particulières. Il montre que toute extension finie d'un corps de caractéristique positive peut être obtenue en adjoignant des racines d'équations polynomiales de la forme $x^p-x$ à ce corps.

Une conséquence importante du théorème d'Artin-Schreier est que toute extension finie d'un corps fini est également un corps fini. Cela est dû au fait que dans un corps fini, chaque élément est une racine de l'équation $x^p-x=0$ pour une certaine puissance de $p>0$. Ainsi, toute extension finie d'un corps fini peut être obtenue en adjoignant des racines d'équations polynomiales de la forme $x^p-x$.

Le théorème  a des applications dans divers domaines des mathématiques, y compris en cryptographie, en théorie des codes, en géométrie algébrique et en théorie des nombres. Il fournit des outils essentiels pour comprendre les propriétés des extensions de corps de caractéristique positive et pour étudier les structures algébriques associées.

En conclusion, le théorème d'Artin-Schreier établit une correspondance entre les extensions de corps finis et les extensions de corps de caractéristique positive. Il montre que les extensions finies de corps de caractéristique positive peuvent être caractérisées en termes d'équations polynomiales de la forme $x^p-x=0$. Ce théorème a des applications importantes en théorie de Galois et dans d'autres domaines des mathématiques. Il permet de comprendre et d'étudier les propriétés des extensions de corps de caractéristique positive de manière rigoureuse et précise.

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