Le théorème d'Abel pour résoudre les équations polynomiales générales

Le théorème d'Abel, également connu sous le nom de théorème d'Abel-Ruffini, est un concept important en mathématiques qui concerne la résolution des équations polynomiales générales. Ce théorème a été formulé par le mathématicien norvégien Niels Henrik Abel au début du 19e siècle, et son énoncé a été complété par Paolo Ruffini, un mathématicien italien.

Le théorème d'Abel affirme essentiellement qu'il n'existe pas de méthode générale permettant de résoudre les équations polynomiales de degré cinq ou plus à l'aide d'une combinaison de radicaux (c'est-à-dire de racines) et d'opérations arithmétiques de base. Autrement dit, il n'est pas possible d'obtenir une formule algébrique qui exprime les racines de ces équations en fonction des coefficients du polynôme et des opérations de somme, différence, produit, quotient et extraction de racine.

Ce théorème a des implications importantes en algèbre et en théorie des équations car il limite les méthodes formelles de résolution des équations polynomiales. Il démontre en particulier l'impossibilité de trouver une formule générale pour résoudre les équations quintiques (polynômes de degré cinq) et les polynômes de degré supérieur à cinq par radicaux.

Toutefois, il est important de noter que le théorème d'Abel ne dit rien sur la résolubilité spécifique des équations de degré cinq ou supérieur. En réalité, il existe des équations polynomiales de degré cinq ou plus qui admettent des solutions algébriques. Par exemple, certaines équations spécifiques peuvent être résolues à l'aide de méthodes particulières ou en utilisant des concepts mathématiques avancés tels que les fonctions elliptiques, mais ces méthodes ne sont pas générales et ne s'appliquent pas à toutes les équations de degré cinq ou supérieur.

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