Qu'est-ce qu'une fonction injective en mathématiques ?

En mathématiques, une fonction f(x) est dite injective (ou injective par rapport à x) si elle associe des éléments distincts de son domaine de définition à des images distinctes dans son ensemble d'arrivée. Autrement dit, pour tout couple d'éléments x1 et x2 de son domaine de définition, si f(x1) = f(x2), alors x1 = x2.

Cela signifie que chaque élément du domaine de définition est envoyé sur une unique image dans l'ensemble d'arrivée de la fonction. Graphiquement, cela se traduit par une représentation où chaque élément du domaine de définition est associé à un unique élément de l'ensemble d'arrivée, sans qu'il y ait de chevauchement.

L'injectivité est souvent considérée comme une propriété souhaitable pour les fonctions, car elle permet de garantir l'unicité des pré-images et facilite la résolution d'équations.

La représentation graphique de la notion d'injection se fait souvent à l'aide d'un diagramme de flèches appelé diagramme de Hasse ou diagramme de composition.

Prenons l'exemple de la fonction f(x) = x^2, définie sur l'ensemble des nombres réels. Cette fonction n'est pas injective, car par exemple f(-2) = f(2) = 4. Le diagramme de Hasse pour cette fonction peut être représenté comme suit :

Dans ce diagramme, chaque élément du domaine de définition (les nombres réels) est représenté par un cercle, relié à l'image correspondante par une flèche. Les éléments ayant la même image (ici, 4) sont regroupés sous la même flèche.

On voit donc ici que la fonction n'est pas injective, car deux éléments distincts du domaine de définition (2 et -2) sont associés à la même image (4). En effet, la flèche partant de ces deux éléments converge vers la même image dans l'ensemble d'arrivée.

En revanche, pour une fonction injective, chaque élément du domaine de définition serait associé à une image distincte dans l'ensemble d'arrivée, sans qu'il y ait de chevauchement de flèches.

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