Les approximations diophantiennes : approximer une quantité réelle

Les approximations diophantiennes sont un domaine de la théorie des nombres qui étudie la possibilité d'approximer une quantité réelle (par exemple, un nombre irrationnel) par des fractions rationnelles ayant des dénominateurs limités.

Plus précisément, étant donné un nombre réel x, on cherche à trouver des nombres entiers a et b tels que la différence |x - a/b| soit petite, où |.| désigne la valeur absolue. Cette différence est appelée la distance diophantienne entre x et la fraction a/b.

Les approximations diophantiennes ont de nombreuses applications dans différents domaines des mathématiques, y compris la géométrie algébrique, la théorie des nombres transcendants, la théorie des nombres algébriques, la théorie des fonctions spéciales et la théorie des groupes.

Un résultat célèbre dans ce domaine est le théorème de Dirichlet sur les approximations diophantiennes, qui affirme que pour tout nombre réel x et tout entier positif N, il existe une fraction rationnelle a/b telle que 0 < |x - a/b| < 1/bN. Ce théorème montre que, pour tout réel x, il existe une infinité de fractions rationnelles qui approximent x de plus en plus près, ce qui en fait un outil puissant pour l'étude des nombres réels.

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