Valuation p-adique en mathématiques

La valuation $p$-adique est une mesure de "petitesse" ou de "grandeur" d'un nombre entier ou d'un nombre rationnel en utilisant la factorisation en nombres premiers. Elle est utilisée en arithmétique modulaire et en théorie des nombres.

Plus précisément, pour un nombre rationnel $x$ différent de zéro, la valuation $p$-adique de $x$ est définie comme l'exposant auquel le nombre premier $p$ divise le dénominateur réduit de $x$ (c'est-à-dire le dénominateur de la fraction irréductible obtenue en simplifiant la fraction $x$) moins l'exposant auquel $p$ divise le numérateur réduit de $x$.

Formellement, si $x$ est un nombre rationnel non nul et que l'on écrit $x$ sous la forme irréductible $x = \frac{a}{b}$ avec $a$ et $b$ des entiers premiers entre eux, alors la valuation $p$-adique de $x$, notée $v_p(x)$, est donnée par la formule suivante :

$v^p(x)=v^p(b)-v^p(a)$

où $v_p(m)$ est l'exposant auquel $p$ divise $m$, c'est-à-dire le plus grand entier $k$ tel que $p^k$ divise $m$.

Si $x=0$, on définit la valuation $p$-adique de $x$ comme étant $+\infty$.

La notion de valuation $p$-adique permet d'étendre la notion de valeur absolue des nombres réels ou complexes à des nombres rationnels. Elle est utilisée en arithmétique modulaire et en théorie des nombres pour étudier la structure des anneaux d'entiers de certains corps de nombres, tels que les corps de nombres quadratiques ou les corps de nombres cyclotomiques.