AI / x′ = a(t ) x + b(t) / Résoudre une équation différentielle linéaire du premier ordre
Cette équation différentielle linéaire du premier ordre peut être résolue à l'aide de la méthode d'intégration des facteurs intégrants.
- Trouver le facteur intégrant :
Pour trouver le facteur intégrant, nous avons besoin de multiplier l'équation par une fonction de t appropriée. En général, la fonction de t choisie sera l'exponentielle de l'intégrale de la fonction a(t) par rapport à t. Ainsi, le facteur intégrant sera donné par :
μ(t) = exp( ∫ a(t) dt )
- Multiplier l'équation par le facteur intégrant :
En multipliant les deux membres de l'équation par μ(t), on obtient :
μ(t) x′ = μ(t) a(t) x + μ(t) b(t)
- Intégrer les deux membres de l'équation :
Ensuite, nous intégrons les deux membres de l'équation par rapport à t. En utilisant la règle de la dérivation des produits, le premier terme du membre de gauche peut être intégré en utilisant la substitution u = x, du = x' dt. Ainsi, nous obtenons :
∫ μ(t) x′ dt = ∫ μ(t) a(t) x dt + ∫ μ(t) b(t) dt
En utilisant la substitution u = x, du = x' dt pour le premier terme à gauche, nous avons :
∫ μ(t) du = ∫ μ(t) a(t) u dt + ∫ μ(t) b(t) dt
En intégrant les deux termes du membre de droite par rapport à t, nous avons :
u(t) ∫ μ(t) a(t) dt + ∫ μ(t) b(t) dt = C
où C est la constante d'intégration.
- Résoudre pour x :
Maintenant que nous avons trouvé la solution générale pour u(t), nous pouvons résoudre pour x en remplaçant u(t) par x dans l'équation précédente :
x(t) = exp(- ∫ a(t) dt) [ ∫ exp( ∫ a(t) dt) b(t) dt + C ]
Cette est la solution générale pour l'équation différentielle donnée. Notez que la constante d'intégration C doit être déterminée à partir des conditions initiales de l'équation différentielle.
